Worldwide Differential Calculus University of Massachusetts, AmherstFA 13DIGITAL -FA13

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Contents 0.1 Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Rates of Change and the Derivative 1 1.1 Average Rates of Change . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Prelude to IROC’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3 Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.1 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3.2 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.3.3 Limits involving Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.4 IROC’s and the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.5 Extrema and the Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 1.6 Higher-Order Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 1.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Appendix 1.A Technical Matters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 1.A.1 Properties of Real Numbers and Extended Real Numbers . . . . . . . . . 140 1.A.2 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 1.A.3 Proofs of Theorems on Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . 145CONTENTS 1.A.4 Proofs of Theorems on Differentiability and Continuity . . . . . . . . . . . 154 2 Basic Rules for Calculating Derivatives 159 2.1 The Power Rule and Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 2.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 2.2 The Product and Quotient Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 2.3 The Chain Rule and Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 2.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 2.4 The Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 2.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 2.5 The Natural Logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 2.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 2.6 General Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 2.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 2.7 Trigonometric Functions: Sine and Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 2.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 2.8 The Other Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 2.8.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 2.9 Inverse Trig Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 2.9.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 2.10 Implicit Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 2.10.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Appendix 2.A Technical Matters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 3 Applications of Differentiation 335 3.1 Related Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 3.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 3.2 Graphing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 3.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360CONTENTS 3.3 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 3.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 3.4 Linear Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 3.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 3.5 l’H^opital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 3.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 Appendix 3.A Technical Matters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 4 Anti-differentiation & Differential Equations 419 4.1 What is a Differential Equation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 4.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 4.2 Anti-derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 4.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 4.3 Separable Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 4.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 4.4 Applications of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 4.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 4.5 Approximating Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 4.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 Appendix A Parameterized Curves and Motion 523 A.1 Parameterized Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 A.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 Appendix B Tables of Derivative Formulas 535 Appendix C Answers to Odd-Numbered Problems 537 Bibliography 555 Index 55 [Show More]

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